[2016년 덕이고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -2x^2 +3]에 대하여 [eqn: lim_n->inf n left{ f left(2+ 2overn right) -f left(2- 1overn right) right}]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: lim_x->2 {f(x)-1 }overx-2 =2], [eqn: lim_x->2 {g(x)+2 }overx-2 =3]을 만족시킬 때, 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=h(x)]위의 점 [eqn: (2,```h(2))]에서 접선의 기울기는? [4.2점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)=-x^3 +6x^2 -9x+5]에 대하여 구간 [eqn: [1,```3]]에서 평균값 정리를 만족시키는 모든 상수 [eqn: c]의 값의 합은? [4.1점]

④

① [eqn: 5over2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9over2]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: | f(x) | =6root3]가 서로 다른 네 개의 실근을 가질 때, [eqn: f(4)]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: 28]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 32]

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: g(x)=x^2 -f(x)]라고 할 때, 삼차함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=alpha]와 [eqn: x=beta]에서 극값을 갖는다. 이 때 [eqn: f` prime ( alpha )f` prime ( beta )]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 40]

[eqn: RMA]제품 [eqn: x]개를 생산하는 데 드는 비용이
[eqn: f(x)=x^3 -48x^2 +820x+1000](원)
이고 생산된 제품은 [eqn: 1]개당 [eqn: 1000]원이며 그 날 모두 판매된다고 할 때, 이익을 최대로 하기 위해 하루에 생산해야 할 제품의 개수는? [4.3점]

뭔가 오류.

이익의 극댓값은 [eqn: 16+ sqrt {316} = 33.77cdots]일 때이므로

정답은 [eqn: 34]개.

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: f(0)=6]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여 집합 [eqn: S]를
[eqn: S=left{`a`|`함수```|f(x)-t|가```x=a에서```미분가능하지```않다.right}]
라 하고, 집합 [eqn: S]의 원소의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=2]와 [eqn: t=6]에서 불연속일 때, [eqn: f(1)]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: t]에 대한 함수 [eqn: x=f(t)]로 나타내어질 때, [eqn: x=f(t)]의 그래프는 그림과 같다. 이 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

①

ㄱ. 점 [eqn: RMP]는 [eqn: t=a]일 때 원점으로부터 가장 멀리
떨어져 있다.

ㄴ. 점 [eqn: RMP]의 속도가 [eqn: 0]인 시각은 [eqn: b]와 [eqn: d]이다.

ㄷ. 시각 [eqn: t=c]에서 점 [eqn: RMP]의 가속도는 양수이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: g(x)=int left{3x^2 -f(x) right} dx], [eqn: f(x)g(x)=18x^4 -72x^3]을 만족시킬 때, [eqn: f(1)+g(1)]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

세 함수 [eqn: f_1 (x)], [eqn: f_2 (x)], [eqn: f_3 (x)]는 모두 닫힌구간 [eqn: [0,```1]]에서 연속이고 항상 양의 값을 가지며 열린구간 [eqn: (0,```1)]에서 미분가능하다. 또한 열린구간 [eqn: (0,```1)]에 속하는 모든 [eqn: x]에 대하여 다음 세 개의 부등식을 만족한다.
[eqn: f_1 '(x)>f_2 (x)], [eqn: f_2 '(x)<-f_3 (x)], [eqn: f_3 '(x)>f_1 (x)] [eqn: f_1 (0)=1]
일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.6점]

②

ㄱ. [eqn: 0<f_2 (0)< 1over2]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f_2 (x)]는 [eqn: [0,```1]]에서 감소함수이다.

ㄷ. [eqn: f_3 (0)<1]이면 [eqn: f_3 (c)=1]인 점 [eqn: c]가 열린구간
[eqn: (0,```1)]에 적어도 하나 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

극한값 [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n 1overn left( 3 + 2k overn right) ^2]을 적분으로 나타낸 것 중 옳은 것은? [4.0점]

①

① [eqn: 1over2 int_0 ^1 (3+2x)^2 dx]	② [eqn: int_0 ^2 (3+x)^2 dx]

③ [eqn: 1over2 int_1 ^3 (2+x)^2 dx]	④ [eqn: int_2 ^4 (1+x)^2 dx]

⑤ [eqn: 1over2 int_3^4 x^2 dx]

두 다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: g(x)=int_0 ^x (x-t)f(t)dt]가 성립한다. [eqn: g'(x)=x^2 -3x]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 =lim_h->0 1overh int_1 ^1+n (a_n t^2 +t-1)dt +x^n]일 때,
[eqn: lim_n->inf a_n =5]이다. [eqn: x]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 4over5]	③ [eqn: 3over5]

④ [eqn: 2over5]	⑤ [eqn: 1over5]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)=x^3 -2x^2 -2int_0^1 tf(t)dt]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: 1over10]	② [eqn: 3over10]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 7over10]	⑤ [eqn: 9over10]

함수 [eqn: f(x)=(-1)^[x] (x^2 -[x]x)]일 때, [eqn: int_0^3 f(x)dx]의 값은?
(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.) [4.5점]

⑤

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=-f(-x)],
[eqn: f(x+2)=f(x)]를 만족시킨다. [eqn: int_0^1 f(x)dx=1]일 때, [eqn: int_-14^9 f(x)dx]
의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

서술형

지상 [eqn: 35rmm]의 높이에서 [eqn: 30rmm/s]의 속도로 똑바로 위로 쏘아 올린 물 로켓의 [eqn: t]초 후의 높이가 [eqn: x rmm]가 [eqn: x=-5t^2 +30t+35]일 때, 다음을 구하시오. [총 7.0점]

(1) [eqn: 20]

(2) [eqn: 3]초, [eqn: 80]

(3) [eqn: -40]

(1) [eqn: 1]초 후 물 로켓의 속도 [2.0점]

(2) 물 로켓이 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간과

그때의 높이 [2.0점]

(3) 물 로켓이 지면에 닿는 순간의 속도 [3.0점]

함수 [eqn: f(x)-x^3 -x]위의 점 [eqn: (1,```0)]에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_1]이라 하고, [eqn: (x_1 ,```f(x_1 ))]에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_2]라 하자. 이와 같은 시행을 [eqn: n]번 시행한 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_n]이라 하자. [총 8.0점]

(1) [eqn: -2]

(2) [eqn: (-2)^n]

(1) [eqn: x_1]의 값을 구하시오. [3.0점]

(2) [eqn: x_n]의 일반항을 구하시오. [5.0점]

함수 [eqn: F(x)]는 다항함수 [eqn: f(x)]의 부정적분이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 등식을 만족시킨다.
[eqn: x^2 f(x)+F(x)=int(6x^2 -6x-4)dx]
[eqn: F(0)=13]일 때, [eqn: log_3 F(x)]의 최솟값을 구하시오. [6.0점]

[eqn: 2]

임의의 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy]
를 만족시키고, 함수 [eqn: F(x)]를 [eqn: F(x)=int_0^x (t-3)f`'(t)dt]로 정의한다. [eqn: F(x)]의 극값이 존재하지 않을 때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하시오. [9.0점]

[eqn: x ^{2} +6x]

[2016년 덕이고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com